Les fractales: une vieille découverte anodine qui s’avère importante!

Les fractales, figures mathématiques encore bien méconnues, peuvent s’avérer être de véritables diamants à polir puisqu’ils sont remplis de potentiels et touchent à plusieurs domaines du monde qui nous entoure. Mais d’où est née cette particularité? La géométrie euclidienne, qui venait clarifier les bases de la géométrie grecque, est basée sur 5 postulats. Au cours des travaux effectués par des mathématiciens afin de redéfinir le 5^e postulat qui était imprécis, ils finissent par obtenir des figures étranges et paradoxales : des « monstres » selon leurs propres dires ! Ces figures complexes sont ce qu’on appelle aujourd’hui les fractales et sont obtenues à la suite d’une répétition infinie d’une opération simple.

Un exemple connu est l’éponge de Menger où un cube, qui se transforme en plusieurs cubes minuscules, aura une surface infinie, mais un volume nul. Paradoxal n’est-ce pas? À cause de la complexité du phénomène, l’utilisation d’un ordinateur a été requis pour enrichir les connaissances à ce sujet, d’où son éclosion tardive. Benoît Mandelbrot est celui qui, dans les années 1970, arrive à définir un cadre cohérent en ce qui concerne les fractales. Ce dernier évoque le fait que selon un satellite, les côtes anglaises représenteront une courbe, tandis qu’en avion, ces courbes présenteront certaines aspérités et qu’en examinant de plus près celles-ci, il sera possible de voir plusieurs micro-aspérités, d’où le principe qu’une longueur peut dépendre de l’unité de mesure.

 Une application concrète de cette découverte se trouve dans le domaine des communications : des fractales se trouvent dans nos antennes. Dans les faits, plus une antenne aura une surface de contact élevée avec l’air, plus elle captera d’ondes. Ainsi, en prenant le principe de l’éponge de Menger, le volume de l’antenne est réduit, tout en augmentant sa surface de contact, augmentant donc l’efficacité de l’appareil. Incroyablement, il est possible de graver une figure à l’ordre de 10 micromètres¹. Dans un contexte où l’utilisation abondante de nos ressources est inquiétante, les fractales apportent un souffle nouveau à la microtechnologie dans le domaine des communications. Ceux-ci s’avèrent donc être la découverte mathématique présentant le plus gros potentiel à ce jour : elle nous réserve donc encore bien des surprises!

SOURCES:

¹ :MEDDAH, Hassan. «
Les fractales optimisent la géométrie des antennes », [en ligne], [http://www.usinenouvelle.com/article/les-fractales-optimisent-la-geometrie-des-antennes.N17352],
consultée de 16 octobre 2011.

Texte inspiré de:

LALIBERTÉ, Guillaume. « Les fractales », pdf, document déposé LÉA 201-NYC-05 aut. 11 Cégep de Rimouski.

Source image : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Menger-Schwamm-Reihe.jpg

L’éponge de Menger consiste à séparer chaque face d’un cube en 9 autres cubes et de « creuser de bord en bord » du cube les cubes centraux de chaque face. En répétant cette opération à partir des nouveaux cubes obtenus, de nouveaux cubes seront formés. Ainsi, en répétant cette logique à l’infini, on « creuse » toujours notre cube de départ, tout en formant un nombre infini de petits cubes. Dans les faits, on obtient donc une surface infinie pour un volume nul.

Pascal Desrochers, 2011-10-16